Problema 2J.2 ó 2B.7 Bird Fenómenos de Transporte.

Obtención del perfil de velocidad y flujo volumétrico de un fluido newtoniano en tubos concéntricos.

Empezamos este blog con la solución de un problema extraído directamente del libro "Fenómenos de Transporte" por R. Byron Bird (1a y 2a edición).

Este problema lo resolví hace tiempo en tercer semestre de la carrera, lo leí directamente de la primera edición (Página 2-34) sin embargo el mismo problema también lo puedes encontrar en la segunda edición en la página 75.

• Problema en la primera edición:

Considerar el sistema representado en la Fig. 2.J, en el que la varilla cilíndrica se mueve con una velocidad V. La varilla y el cilindro son coaxiales. Hallar la distribución de velocidad en estado estacionario y la velocidad volumétrica del fluido. Este tipo de problemas se presentan en el recubrimiento de alambres con barniz.

Figura 1. Esquema del problema en la primera edición.

• Problema en la segunda edición:

Una varilla cilíndrica de radio KR se mueve axialmente con velocidad vz = vo a lo largo del eje de una cavidad cilíndrica de radio R como se observa en la figura. La presión en ambos extremos de la cavidad es la misma, de modo que el fluido se mueve a través de la región anular solamente debido al movimiento de la varilla.

Figura 2. Esquema del problema en la segunda edición.

La segunda edición en la página 75 contiene un esquema similar con la misma información, de cualquier forma en este blog vamos a rehacer el esquema para comenzar un análisis previo al álgebra que tenemos que desarrollar para resolver el problema.

Análisis previo.

Se trata de un sistema cuyo objetivo es recubrir una varilla que se mueve a una velocidad V de forma concéntrica al centro de una tubería que contiene un líquido. El líquido no es bombeado por el exterior, es decir, no tenemos caídas de presión, lo que se traduce en la ausencia de fuerzas superficiales en la ecuación de movimiento.

Consideraciones:

Estado estacionario (ausencia de acumulación).
Fluido newtoniano y sistema isotérmico (Viscosidad constante) .

Fluido laminar (La velocidad solo cambia con respecto al radio).
La tubería se encuentra totalmente horizontal (Sin fuerzas volumétricas exteriores como la gravedad).

Simplificación de la ecuación de movimiento.

El siguiente paso es aplicar la ecuación de movimiento para coordenadas cilíndricas, corresponde a la ecuación (B.6-6) de la tabla B.6 del apéndice B (Página 996 Bird 2a edición). La deducción de esta ecuación nace de un balance de cantidad de movimiento en todas las direcciones del fluido, además de las fuerzas que intervienen en su movimiento, también llamadas ecuaciones de Navier-Stokes. La deducción mencionada puedes consultarla en la página 89.

Tabla B.6: Ecuación de movimiento en coordenadas cilíndricas.

La simplificación de la ecuación B.6-6, teniendo en cuenta las consideraciones anteriores, lleva a la siguiente expresión tal que:

La última expresión sebe ser integrada de la siguiente forma:

Lo siguiente sería resolver las constantes de integración C1 y C2 utilizando condiciones de frontera o condiciones límite. 
Los cuales provienen de dos consideraciones:

Condiciones de frontera.

• Flujo laminar y condición de adherencia: Una de las características de un flujo laminar es la formación de un perfil de velocidad en forma de distintas laminas con un valor de velocidad diferente en función del radio en este caso. En un transporte de este tipo, el fluido alcanza una velocidad máxima en una zona específica, en este caso la velocidad máxima del fluido tiene que ser necesariamente "V" que es la misma velocidad de la varilla concéntrica por condición de adherencia, esto cuando el radio es igual a KR o bien; r=KR.
  
  
• De la misma forma, la velocidad mínima es 0 cuando el fluido se encuentra en la tubería estática exterior, es decir cuando r tiene el valor de R según el diagrama mostrado anteriormente.

Ahora que conocemos C1 y C2 procedemos a sustituir estos valores en la ecuación integrada anteriormente, es decir B.

Una vez que se substituyen las expresiones para C1 y C2 en B, solo queda reducir la expresión haciendo uso de algunas propiedades de los logaritmos.

La expresión del perfil de velocidad puede mostrarnos gráficamente el comportamiento del fluido laminar dentro de la tubería si le asignamos valores.

Perfil de velocidad.

Vamos a asignar valores a nuestra ecuación. 

• Velocidad de la varilla de 3 cm/s.
• Radio de la varilla (KR) igual a 3 cm.
• Radio interno de la tubería exterior (R) 30 cm.
• Con la información anterior calculamos K=3cm/30cm = 0.1

Construimos una tabla de 20 valores de radio variable "r" entre 3cm y 30cm y evaluamos la velocidad con el perfil de velocidad obtenido:

Nota como la curva obtenida es similar al esquema que realizamos en la sección de análisis previo, la velocidad máxima alcanzada en la gráfica corresponde a 3 cm/s que es la velocidad de la varilla. Mientras que la velocidad mínima se aproxima a cero conforme el radio se acerca a 30 cm (que es donde se encuentra la superficie de la tubería exterior estática).

Lo anterior es la representación gráfica de la condiciones de frontera propuestas para este problema, que dan como resultado un perfil de tipo logarítmico, y es el modelo más simple de resolver para un fluido en movimiento a través de las ecuaciones Navier-Stokes.

Flujo volumétrico 

Para encontrar la expresión que permite calcular el flujo volumétrico a través del sistema se utiliza la ecuación (2.3-27) de la página 2-18 en la primera edición:

Ecuación del flujo volumétrico en tubería cilíndricas.

Vz corresponde a la expresión para el perfil de velocidad que encontramos anteriormente, se procede a realizar las integrales (primero se integra con respecto a theta desde 0 a 2pi, y luego con respecto a r desde 0 a R). La integral con respecto a theta, siempre dará como resultado 2pi, ya que en el perfil de velocidad la variable theta, que corresponde al desplazamiento en coordenadas polares, es decir, desde la sección transversal, no se considera en el perfil de velocidades.

Es necesario recordar, que el perfil de velocidades solo considera la variación de la velocidad del flujo de forma axial, con respecto al radio de la tubería "r". 

SOLUCIÓN:

Solución a la integral por partes: 

Realizado por Ángel Isaac Romero Pérez
Ingeniería Química Instituto Politécnico Nacional